Los problemas de optimización de funciones son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del cálculo de derivadas. El problema es determinar los extremos relativos (máximos o mínimos) de una función.
se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas de optimización geométricos y económicos entre otros.
como sabemos en la vida cotidiana con frecuencia estamos afrontando muchos problemas de optimización; por ejemplo, buscamos el mejor camino para ir de un lugar a otro, (no necesariamente el más corto), tratamos de hacer la mejor elección al hacer una compra, buscamos la mejor ubicación cuando vamos a un cine o a un teatro, tratamos de enseñar lo mejor posible, escogemos al mejor candidato (o al menos malo) en una elección. Evidentemente, en ninguno de estos casos usamos matemática formalizada y rigurosa para encontrar lo que nos proponemos, pues afrontamos los problemas con los criterios que nos dan la experiencia y la intuición, aunque no necesariamente encontremos la solución óptima.
en una perspectiva más amplia, observamos que los problemas de optimización son parte fundamental de la matemática y ya estaban presentes en los tratados de los griegos de la antigüedad. Una muestra de ello es el libro V de la obra sobre cónicas escrita en ocho tomos por Apolonio – considerado uno de los griegos más importantes de la antigüedad, que vivió entre los años 262 y 190 a.C. – en el cual se dedica a estudiar segmentos de longitud máxima y longitud mínima trazados respecto a una cónica. Ciertamente, un hito histórico está marcado por el desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII y el uso de derivadas para resolver problemas de máximos y mínimos, con lo cual se amplió aún más las aplicaciones de las matemáticas en diversos campos de la ciencia y la tecnología y gracias, sobre todo, a Euler se creó el cálculo de variaciones, considerando la obtención de funciones que optimizan funcionales, lo cual proporcionó valiosas herramientas matemáticas para afrontar problemas más avanzados. Otro hito importante en la historia de la optimización se marca en la primera mitad del siglo XX al desarrollarse la programación lineal. Kantorovich y Koopmans recibieron el premio Nobel de economía en 1975, como reconocimiento a sus aportes a la teoría de la asignación óptima de recursos, con la teoría matemática de la programación lineal.
en esta breve mirada histórica, es importante mencionar que Fermat (1601-1665), antes que Newton y Leibinitz publicaran sus trabajos sobre el cálculo diferencial, inventó métodos ingeniosos para obtener valores máximos y mínimos; que Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) mostró aproximaciones intuitivas a métodos de optimización actualmente considerados en la programación lineal; y que el tratamiento riguroso de las ideas de Newton y Leibinitz – y de muchos otros anteriores a ellos, que aportaron ideas relevantes al análisis matemático – fue desarrollado recién en el siglo XIX, con Cauchy, Weierstrass y Dedekind.
tenemos así, en la historia de la matemática – y en particular en temas vinculados con optimización – hechos que nos muestran la relación estrecha entre intuición y rigor, y que han llevado a destacados personajes de la matemática a tomar posición respecto a este asunto. Baste mencionar a Félix Klein (Alemania, 1849 – 1925), destacado geómetra, autor del famoso programa de Erlangen, quien afirmó que “En cierto sentido, las matemáticas han progresado más gracias a las personas que se han distinguido por la intuición, no por los métodos rigurosos de demostración” (Perero, 1994, p. 101) y a L.
E. J. Brouwer (Holanda, 1881 – 1966), matemático famoso, conocido ampliamente por su teorema del punto fijo y con significativos aportes a la topología, que es considerado creador de la corriente matemática del intuicionismo.
Es entonces importante estudiar e investigar sobre la intuición y el rigor en las matemáticas, y en particular en la resolución de problemas de optimización.
